Erdős & Ivić 提出（1986 年 Oberwolfach 问题册）· 站点状态 OPEN · 本页最后更新 2026-09-06
设 $r \ge 2$。若整数 $n$ 的每一个素因子 $p$ 都满足 $p^r \mid n$，称 $n$ 为 $r$-powerful 数。
问：是否每个充分大的整数都能写成至多 $r+1$ 个 $r$-powerful 数之和？
已证 $r=2$：是。Heath-Brown 1988。
开放 $r \ge 3$：完全没有结果。
任何大于 1 的整数都能唯一地拆成素数的乘积，比如 $$360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 .$$ 这里 $2$ 出现 3 次、$3$ 出现 2 次、$5$ 出现 1 次。这些次数叫做指数。
$r$-powerful 数的定义只有一句话：所有指数都至少是 $r$。
| 数 | 分解 | 是 2-powerful 吗 | 为什么 |
|---|---|---|---|
| $4$ | $2^2$ | 是 | 唯一的指数 2 $\ge$ 2 |
| $8$ | $2^3$ | 是 | 指数 3 $\ge$ 2 |
| $36$ | $2^2\cdot 3^2$ | 是 | 两个指数都 $\ge$ 2 |
| $72$ | $2^3\cdot 3^2$ | 是 | 指数 3 和 2 都 $\ge$ 2 |
| $360$ | $2^3\cdot3^2\cdot5^1$ | 否 | $5$ 只出现 1 次 |
| $12$ | $2^2\cdot 3^1$ | 否 | $3$ 只出现 1 次 |
| 任何素数 $p$ | $p^1$ | 否 | 指数只有 1 |
直觉：powerful 数就是「没有哪个素因子只是擦边出现一次」的数。 平方数当然都是 2-powerful（指数全是偶数，$\ge 2$），但 2-powerful 数不止平方数—— $8, 24{\cdot}3, 72, 108$ 这些都不是平方数。
前几个（本站实算）：
这是整件事的关键。不超过 $x$ 的 $r$-powerful 数大约只有 $C_r \cdot x^{1/r}$ 个—— 跟纯 $r$ 次幂（$1^r, 2^r, 3^r, \dots$，恰好 $x^{1/r}$ 个）是同一个稀疏度量级， 只差一个常数倍。本站实算：
| $x$ | 2-powerful 个数 | $\div\sqrt{x}$ | 3-powerful 个数 | $\div x^{1/3}$ |
|---|---|---|---|---|
| $10^4$ | 185 | 1.85 | 51 | 2.37 |
| $10^6$ | 2 027 | 2.03 | 307 | 3.07 |
| $10^8$ | 21 044 | 2.10 | 1 645 | 3.54 |
对比：$10^8$ 以内有一亿个整数，但只有两万个 2-powerful 数、一千六百个 3-powerful 数。 用这么稀疏的一小撮数，去把每一个整数都拼出来——这就是问题的难度来源。
它属于数论里一个很老的家族：加性表示问题—— 给定一族「零件」，问每个整数能不能用少数几个零件拼出来。
#1107 就是同一个模子，只不过零件换成了 powerful 数——一族比平方数稍多、但仍然极稀疏的数。
具体地，$r=2$ 时问的是：每个大整数是不是至多 3 个 square-full 数之和？ $r=3$ 时是至多 4 个 3-powerful 数之和，依此类推。
这不是随便挑的数字，背后有一个简单但决定性的计数。
不超过 $x$ 的 $r$-powerful 数约 $C_r x^{1/r}$ 个。若允许用 $s$ 个零件相加， 那么「所有可能的 $s$ 元组」大约有 $$\bigl(C_r x^{1/r}\bigr)^{s} \;=\; C\, x^{\,s/r}$$ 种。而我们要覆盖的目标只有 $x$ 个整数。于是：
| 项数 $s$ | 元组总数 | 与目标 $x$ 相比 | 含义 |
|---|---|---|---|
| $s = r$ | $x^{1}$ | 刚好相等 | 临界——平均每个整数只有 $O(1)$ 个表示，完全没有余量 |
| $s = r+1$ | $x^{1+1/r}$ | 多出 $x^{1/r}$ 倍 | 有盈余——平均每个整数约有 $x^{1/r}$ 个表示 |
所以 $r+1$ 是第一个有富余的项数。这个富余不是可有可无的细节： 解析数论处理这类问题的主力工具（圆法）恰恰需要这样一个盈余， 才有可能把误差项压下去。项数再少一个（$s=r$）就变成另一个更难的问题—— 那是它的兄弟题 #940，问的是这些整数是不是密度为 0，同样开放。
Hardy–Littlewood 圆法是把「$n$ 有多少种表示」写成一个积分： $$ r(n) \;=\; \int_0^1 \Bigl(\sum_{m \text{ 是零件}, \, m \le x} e^{2\pi i m\alpha}\Bigr)^{\!s} e^{-2\pi i n\alpha}\, d\alpha .$$ 然后把积分区间切成两部分：主弧（$\alpha$ 接近简单分数的地方，贡献主项，可以算出来） 和次弧（其余部分，是误差，需要证明它比主项小）。
「零件够不够多」直接决定次弧能不能压住：零件越多，被求 $s$ 次方的那个和衰减越快。 这就是上表那个盈余的意义。
这一节是全篇最值得看的部分——因为它同时解释了为什么 $r=2$ 能成 和为什么 $r=3$ 不能照搬。
有一个漂亮的事实：每个 square-full 数都能唯一写成 $$ n \;=\; a^2 b^3, \qquad b \text{ 无平方因子}. $$ 例如 $72 = 2^3\cdot 3^2 = 3^2\cdot 2^3$，即 $a=3,\ b=2$；$108 = 2^2\cdot 3^3 = 2^2 \cdot 3^3$，即 $a=2,\ b=3$。（$b$ 收集所有奇数次的素因子，剩下的凑成平方。）
Gauss–Legendre 三平方和定理：一个正整数能写成 3 个平方数之和， 当且仅当它不是 $4^a(8b+7)$ 的形状。
也就是说，除掉一小撮「坏数」（$7, 15, 23, 28, 31, 39, \dots$，即 $\bmod 8$ 余 7 的数， 以及它们乘 $4, 16, 64,\dots$ 得到的数），其余每个正整数都是三个平方数之和。 这些坏数的密度是 $1/6$，占比很小。
关键在于这是一条完整的判定定理：它把「能不能表示」完全归结为一个同余条件，没有任何缺口。 三元二次型有这样的「局部–整体原理」，这是二次型独有的奢侈。
我们枚举了 $n \le 4000$ 的全部「至多 3 个 square-full 数」表示， 并统计其中是否存在「所有项都是平方数」的情形 NUM（下方 §7 可自己跑）：
| $n \bmod 8$ | 存在「全为平方」的表示 | 不存在 |
|---|---|---|
| 0 | 460 | 40 |
| 1 | 499 | 0 |
| 2 | 500 | 0 |
| 3 | 500 | 0 |
| 4 | 375 | 125 |
| 5 | 500 | 0 |
| 6 | 500 | 0 |
| $\mathbf{7}$ | 0 | 494 |
看 $n \equiv 7$ 那一行：494 个数，没有一个能只用平方数拼出来。 而余数 $1,2,3,5,6$ 的失败数全是 0；失败只集中在 $7$（全部）和 $0, 4$—— 后两者正是 $4^a(8b+7)$ 乘上 $4, 16, 64,\dots$ 得到的数。完全吻合 Gauss–Legendre 的排除类。 这些 $n$ 的表示被迫用上带立方部分的 square-full 数：
在 $2 \le n \le 4000$ 中，完全不能写成至多 3 个 square-full 数之和的只有 6 个： $7,\ 15,\ 23,\ 87,\ 111,\ 119$。定理说的「充分大」就是指越过这些小例外。
照搬上面的思路：3-powerful 数可以写成 $a^3 b^4 c^5$ 的形状，取 $b=c=1$ 就是立方数， 四项即 $$ n \;=\; a_1^3 + a_2^3 + a_3^3 + a_4^3 .$$ 于是「主情形」变成了四立方和问题。然后就撞墙了，而且是三堵墙同时撞上。
| $r=2$（3 项） | $r=3$（4 项） | |
|---|---|---|
| 可表示、但没有「全纯幂」表示的比例 | 16.5 % | 44.4 % |
| 完全不可表示的 $n$ | 6 个（最大 119） | 45 个（最大 2039） |
| 全族 ÷ 纯幂 的数量比 | 1.83 | 2.69 |
读法：$r=2$ 时，纯幂（平方数）已经扛下 83.5% 的活，剩下 16.5% 是一个薄的同余类，
用多出来的 1.83 倍元素去补，绰绰有余。
$r=3$ 时，纯幂（立方数）只扛得下约 56%，缺口是 44%——
而且这个缺口不是同余障碍，是稀疏性效应（四立方和没有任何局部障碍，纯粹是立方数太少）。
可是 3-powerful 数比立方数也只多 2.69 倍。
下面两个小工具全部在你的浏览器里用精确整数运算跑，没有服务器参与。 §5、§6 的每一个数字都可以在这里自己复现。
输入一个整数，看它能怎样写成 powerful 数之和。绿色标出的是纯 $r$ 次幂（平方数 / 立方数），整行高亮表示这一种表示全部由纯幂组成。
这个会把 $2 \le n \le N$ 全部扫一遍，统计有多少不可表示、多少「可表示但必须用上非纯幂的零件」。 $r=2$ 时还会按 $n \bmod 8$ 分类——那张表是本页最关键的证据。
以下全部是本站独立实算，代码与原始数据在仓库 erdos-1107/ 下：
另已取得并核对：Heath-Brown 2026 预印本 arXiv:2601.07817（免费，其中他本人写出了
「固定立方部分后剩下三元二次型」这一机制，印证了 §5 的骨架）；
Baker–Brüdern 1994 原文（#940 的 $r=2$ 结果）。
从 §6 可以得到一个方向性的结论：攻 $r=3$ 不能把纯立方数当主项， 因为那条路必然撞上开放的四立方和问题。
可能的入口是：从一开始就把三参数族 $a^3 b^4 c^5$ 整体作为指数和的对象， 做双线性 / 三线性分析，而不是把它当成 Waring 问题的一个扰动。 换句话说，要利用的是 $b, c$ 提供的乘性结构——那不是「更多变量」，是另一种结构。 这条路是否走得通，目前没有答案。
待办：取得 Heath-Brown 1988 原文，核对他处理 $4^a(8b+7)$ 这一坏类的具体手法。 如果那手法本质依赖二次型的局部–整体原理，$r=3$ 就得整个换路子； 如果它其实是一个可迁移的双线性论证，那可能就是 $r=3$ 的入口。
| 内容 | 状态 |
|---|---|
| $r=2$ 定理（Heath-Brown 1988） | THM 文献，书目经 zbMATH 核实 |
| Gauss–Legendre 三平方和定理 | THM 经典 |
| 「每个大整数是四个非负立方数之和」为开放 | 文献 只有 almost-all 结果（Wooley 2002 / Kumchev 2005） |
| 参数化 $n=a^2b^3$（$b$ 无平方因子） | THM 标准；见 arXiv:2405.04509、arXiv:2601.07817 |
| 本页全部表格数据、密度实测、例外清单 | NUM 本站实算，可复现 |
| §5「$r=2$ 骨架」的三步分解 | 重构 由标题＋参数化＋数值检验重构，尚未与 1988 年原文逐条核对 |
| §6 三条断点、§8 的入口建议 | 推断 基于 §5 的重构，非文献结论 |